1. (1963年莫斯科競賽題)

    2. 設a、b、c都是正數，證明：
    　a　
    b+c
    		 +
    　b　
    c+a
    		 +
    　c　
    a+b
    		 ≧ 3
    2    		 。
    　
  2. (1976年英國競賽題)

    3. 設正數a1，a2，....，an(n≧2)之和為S，求證：
    n
    Σ
    i=1
    　ai　
    S-ai
    		 ≧
    　n　
    n-1
    		 。
    (Shapiro不等式)
    若0<<1，且a1+a2+....+an=S，則
    n
    Σ
    i=1
    　ai　
    S-ai
    		 ≧
    　nS　
    n-1
    		 。
    同樣可證明：
    (1984年巴爾干競賽題)
    已知a1，a2，....，an為正數，n≧2且a1+a2+....+an=1，求證：
    n
    Σ
    i=1
    　ai　
    2-ai
    		 ≧
    　n　
    2n-1
    		 。
  3. (《數學通報》數學問題668題)

    4. 設a、b為正數，0<x、y、z<a/b，3a-b >0，且x+y+z=1，求證：
    　x　
    a-bx
    		 +
    　y　
    a-by
    		 +
    　z　
    a-bz
    		 ≧
    　3　　
    3a-b
    		 。
    同理可證：設a1，a2，....，an為小於c的正數，且1+a2+....+an=S。求證：
    n
    Σ
    i=1
    　ai　
    c-ai
    		 ≧
    　nS　
    nc-S
    		 。
  4. (《數學通報》數學問題925題)

    5. 已知正數a1，a2，....，an及a1+a2+....+an=S，求證：
    n
    Σ
    i=1
    　ai2　
    S-ai
    		 ≧
    　S　
    n-1
    		 。
    同理可證本題的推廣：
    設a1，a2，....，an為小於c的正數，且1+a2+....+an=S。求證：
    n
    Σ
    i=1
    　ai2　
    c-ai
    		 ≧
    　S2　
    nc-S
    		 。
  5. (《數學通報》數學問題那個839題)　

    6. 若A、B、C均為銳角，且滿足cos2A+cos2B+cos2C=1，試證：ctg2A+ctg2B+ctg2C≧ 3/2。
  6. (第31屆IMO預選題)

    7. 設a、b、c為非負實數，且ab+bc+cd+da=1，求證：
    　a3　
    b+c+d
    		 +
    　b3　
    a+b+c
    		 +
    　c3　
    a+b+d
    		 +
    　d3　
    a+b+c
    		 ≧ 1　　　
    3    		 。
  7. (第28屆IMO試題的推廣)
    設正實數a1，a2，....，an其和為S，實數k≧1，求證：：
    8. n
    Σ
    i=1
    　aik　
    S-ai
    		 ≧
    　Sk-1　
    nk-1- nk-2
    		 。
  8. (IMO試題)
    設a、b、c為正實數，且abc=1，試證：
    9. 　1　
    a3(b+c)
    		 +
    　1　
    b3(c+a)
    		 +
    　1　
    c3(a+b)
    		 ≧ 3
    2    		 。